§ 49. Свободные колебания струны

Для опытов со струной удобен прибор, изображенный на рис. 98. Один коней струны закреплен, а другой перекинут через блок, и к нему можно подвешивать тот или иной груз. Таким образом, сила натяжения струны нам известна: она равна весу груза. Доска, над которой натянута струна, снабжена шкалой. Это позволяет быстро определить длину всей струны или какой-либо ее части.

Рис. 98. Прибор для исследования колебаний струны

Оттянув струну посередине и отпустив, мы возбудим в ней колебание, изображенное на рис. 99, а. На концах струны получаются узлы, посередине — пучность.

Рис. 99. Свободные колебания струны: а) с одной пучностью; б) с двумя пучностями; в) с тремя пучностями

С помощью этого прибора, меняя массу груза, натягивающего струну, и длину струны (перемещая добавочный зажим со стороны закрепленного конца), нетрудно экспериментально установить, чем определяется собственная частота колебания струны. Эти опыты показывают, что частота  колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения  струны и обратно пропорциональна длине  струны, т. е.

.

Что касается коэффициента пропорциональности, то он зависит, как оказывается, только от плотности  того материала, из которого сделана струна, и от толщины струны , а именно он равен . Таким образом, собственная частота колебаний струны выражается формулой

.

В струнных инструментах сила натяжения  создается, конечно, но подвешиванием грузов, а растягиванием струны при накручивании одного из ее концов ни вращающийся стерженек (колок). Поворотом колка, т. е. изменением силы натяжения , осуществляется и настройка струны на требуемую частоту.

Поступим теперь следующим образом. Оттянем одну половинку струны вверх, а другую — вниз с таким расчетом, чтобы средняя точка струны не сместилась. Отпустив одновременно обе оттянутые точки струны (отстоящие от концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне возбудится колебание, имеющее, кроме двух узлов на концах, еще узел посередине (рис. 99, б) и, следовательно, две пучности. При таком свободном колебании звук струны получается в два раза выше (на октаву выше, как принято говорить в акустике), чем при предыдущем колебании с одной пучностью, т. е. частота равна теперь . Струна как бы разделилась на две более короткие струны, натяжение которых прежнее.

Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, делящими струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностями (рис. 99, в). Для этого нужно оттянуть струну в трех точках, как показано стрелками на рис. 99, в. Частота этого колебания равна . Оттягивая струну в нескольких точках, трудно получить колебания с еще большим числом узлов и пучностей, но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например, проводя по струне смычком в том месте, где должна получиться пучность, и слегка придерживая пальцами ближайшие узловые точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностями и т. д. имеют частоты  и т. д.

Итак, у струны имеется целый набор колебаний и соответственно целый набор собственных частот, кратных наиболее низкой частоте . Частота  называется основной, колебание с частотой  называется основным тоном, а колебания с частотами  и т. д.— обертонами (соответственно первым, вторым и т. д.).

В струнных музыкальных инструментах колебания струн возбуждаются либо щипком или рывком пластинкой (гитара, мандолина), либо ударом молоточка (рояль), либо смычком (скрипка, виолончель). Струны совершают при этом не одно какое-нибудь из собственных колебаний, а сразу несколько. Одной из причин того, почему разные инструменты обладают различным тембром (§ 21), является как раз то, что обертоны, сопровождающие основное колебание струны, выражены у разных инструментов в неодинаковой степени. (Другие причины различия тембра связаны с устройством самого корпуса инструмента — его формой, размерами, жесткостью и т. п.)

Наличие целой совокупности собственных колебаний и соответствующей совокупности собственных частот свойственно всем упругим телам. Однако, в отличие от случая колебания струны, частоты обертонов, вообще говоря, не обязательно в целое число раз выше основной частоты.

На рис. 100 схематически показано, как колеблются при основном колебании и двух ближайших обертонах пластинка, зажатая в тиски, и камертон. Разумеется, на закрепленных местах всегда получаются узлы, а на свободных концах — наибольшие амплитуды. Чем выше обертон, тем больше число дополнительных узлов.

Рис. 100. Свободные колебания на частоте основного тона и двух первых обертонов: а) пластинки, зажатой в тиски; б) камертона

Говоря ранее об одной собственной частоте упругих колебаний тепа, мы имели в виду его основную частоту и попросту умалчивали о существовании более высоких собственных частот. Впрочем, когда речь шла о колебаниях груза на пружинке или о крутильных колебаниях диска на проволоке, т. е. об упругих колебаниях систем, у которых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск), а деформации и упругие силы — в другом (пружина, проволока), то для такого выделения основной частоты имелись все основания. Дело в том, что в таких случаях частоты обертонов, начиная уже с первого, во много раз выше основной частоты, и поэтому в опытах с основным колебанием обертоны практически не проявляются.